Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма–Лиувилля с d-потенциалом

Одной из интересных задач спектральной теории операторов является изучение асимптотического поведения функции распределения при больших значениях спектрального параметра λ. Частным случаем этой задачи является изучение асимптотики собственных значений, собственных функций в зависимости от свойств коэффициентов дифференциального выражения и получение формул регуляризованного следа для соответствующих операторов. Для дифференциального оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением –yʺ(x) + q(x)y(x) и самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[a, b], с непрерывно дифференцируемым потенциалом существенные результаты были получены И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном в 1953 году. Сравнительно недавно в работах А.А. Шкаликова, А.М. Савчука были впервые получены асимптотика собственных значений, собственных функций и формула регуляризованного следа для операторов Штурма–Лиувилля на конечном отрезке с сингулярными потенциалами, не являющимися локально интегрируемыми функциями, и краевыми условиями Дирихле. При этом применялось определение оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порожденного квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами, впервые рассмотренное в работах А.М. Савчука и А.А. Шкаликова. Такой подход позволил нам в данной работе исследовать асимптотическое поведение собственных значений и получить формулы регуляризованного следа первого порядка для операторов, порожденных выражением –yʺ(x) + hδ(x)y(x), где δ(x) – δ-функция Дирака, h ϵ R, и некоторыми самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[–1, 1], а именно условиями вида: i) y(–1) = y(1) = 0; ii) y[1](–1) = y[1](1) = 0; iii) y(–1) = y[1](1) = 0; iv) y(–1) = = y(1), y[1](–1) = y[1](1). Для нахождения асимптотики собственных значений указанных операторов найдены соответствующие трансцендентные уравнения. Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет получить формулы регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов.

• Сафонова Т.А. Анатольевна
• Конечная Н.Н. Николаевна
• Тагирова Р.Н. Насировна

• Естественные науки
• Технические науки. Промышленность
• Физико-математические науки