В характеристической области для гиперболического уравнения, которое при y > 0 является уравнением 1-го рода, а при y < 0 – 2-го, исследована задача со смещением с краевыми условиями, содержащими обобщенные операторы дробного интегродифференцирования и линейно связывающими след искомого решения и его нормальной производной на линии перехода. При некоторых условиях на заданные функции в краевых условиях, а также для различных значений параметров операторов дробного интегродифференцирования доказаны теоремы об однозначной разрешимости рассматриваемой задачи.