Рассматривается задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей с кусочно-гладким краем, статический аналог которой в теории мембранных оболочек известен как смешанная граничная задача. Она относится к классу задач, впервые поставленных А. Синьорини. Установлено, что картина разрешимости такой задачи определяется как направлением дуг границы в угловых точках, так и конфигурацией границы.