Настоящая статья посвящена изучению разрешимости и свойств множества решений операторных уравнений вида A(x)= f(x), где A — линейный сюръективный оператор, а f — вполне непрерывное отображение. В работе доказаны некоторые теоремы существования и получены оценки на топологическую размерность множества решений таких уравнений. Даются приложения доказанных теорем к существованию локальных решений вырожденных дифференциальных уравнений