В обзоре обсуждается задача полного описания класса однородных многообразий, обозначенного в заглавии. Излагается суть основного подхода, связанного с использованием канонических уравнений изучаемых многообразий. Описываются вспомогательные идеи и конструкции, позволяющие (в обозримой перспективе) получить полное решение изучаемой задачи. Приведено большое количество результатов, полученных в последние 10 лет и составляющих ядро ожидаемого решения