Разложение на простые множители невырожденных полиномиальных матриц

Предмет исследования. В алгебре полиномиальных матриц (над алгеброй K полиномов от одной буквы) размера n на n изучается вопрос единственности разложения на простые множители. Актуальность. Теория делимости является классической частью математики, вошедшей в процесс обучения в высших учебных заведениях. Автору неизвестно, изучался ли вопрос о единственности разложения на простые множители. Между тем в линейной теории автоматического управления (многоканальные системы) давно и успешно используются понятия наибольшего левого и правого делителей полиномиальных матриц, что может служить основой теории делимости для полиномиальных матриц. Важнейший вопрос теории делимости – существование и единственность разложения на простые множители. Вопрос единственности разложения на простые множители затруднён тем, что в кольце матриц нет коммутативности. Результаты. Показано, что в кольце полиномиальных матриц левые и правые идеалы главные (матрицы над алгеброй полиномов от одной буквы). Отсюда следует, что для любого числа невырожденных матриц существуют наибольший левый делитель, наибольший правый делитель, наименьшее левое кратное, наименьшее правое кратное. Показано, что для любой невырожденной матрицы существует разложение на простые множители. Охарактеризованы неразложимые матрицы: это в точности матрицы с простым (неразложимым) определителем. Проблема единственности разложения на простые множители решается так: для произвольной невырожденной матрицы A описаны все простые правые делители (простые матрицы B, для которых существует матрица C такая, что A = BC). Это описание сделано в терминах решётки K-подмодулей n-ок (модуля последовательности полиномов из K длины n. Разложение же A = BC позволяет найти все разложения невырожденной матрицы A на простые множители. Эти поиски записаны в виде двух алгоритмов (для математиков и для инженеров). Описаны некоторые инварианты разложения матрицы на простые множители. Описаны некоторые частные случаи разложения. Приведён один пример разложения. Методика и инструментарий. Теория колец. Теория делимости.

• Корюкин А.Н.

• Прикладные науки. Медицина. Технология

• Технические науки. Промышленность
• Физико-математические науки
• Естественные науки