ПЕРИОДИЧЕСКИЕ БИЛЛИАРДНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ОВАЛАХ

Рассматриваются периодические биллиардные траектории в биллиардах-овалах, то есть выпуклых областях, ограниченных кривыми с непрерывно меняющейся касательной прямой, обладающих двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Модельным случаем таких биллиардов является эллиптический биллиард. Основное внимание уделяется поиску конкретных биллиардных траекторий с небольшим числом прямоугольных звеньев-хорд. Показано, что в любом биллиарде-овале имеется две пары зеркальных периодических биллиардных траекторий, образованных тремя хордами овала. При этом одна из вершин такой траектории расположена в конце диаметра овала, а противолежащее ей звено-хорда – перпендикулярно этому диаметру. Приведено геометрическое построение такой траектории и указано уравнение, решение которого позволяет найти значение параметра в параметрическом задании контура овала, соответствующее вершине биллиардной ломаной. Для случая биллиарда-эллипса указаны декартовы координаты вершин. С помощью теоремы Понселе показано, что все периодические трехзвенные биллиардные траектории в эллипсе описаны вокруг найденного эллипса, софокусного с исходным эллипсом. На основании результата Биркгофа все они имеют равные периметры. Аналогичные результаты получены и для четырехзвенных периодических биллиардных траекторий. Естественно, в случае биллиарда-эллипса софокусный эллипс, вокруг которого описаны все периодические биллиардные траектории, имеющие четыре звена, отличен от эллипса, обслуживающего трехзвенные биллиардные траектории. В некоторых овалах существуют четырехзвенные биллиардные траектории V-образного типа, каждая из двух хорд которых ортогональна контуру овала и проходится дважды. Приведены примеры овалов, в которых существуют только четыре трехзвенных периодических траектории и овалы, в которых подобных траекторий бесконечное множество.

• Рубинштейн А.И.
• Теляковский Д.С.

• Сельское хозяйство. Лесоводство
• Технические науки. Промышленность